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常微分方程

前四章回答「怎么求解」：先建立方程的分类语言，再用恰当方程、变量分离、一阶线性与初等变换四类方法覆盖可初等求解的一阶方程，最后处理隐式方程、奇解与包络。第五章起问题转向「解具有什么性质」：存在唯一性定理给出理论地基，线性方程组把求解代数化，幂级数解法接手那些无法初等求解的方程；定性理论则完全放弃求显式解，直接研究轨线的结构；边值问题与首次积分是两条专门工具线。

第一遍沿章节顺序读，每章末尾的例题先自己做一遍再对照解析；第二遍利用笔记的前置与后续关系回补断点。存在唯一性一章的证明较长，初读可先接受结论、只记条件，第二遍再展开 Picard 迭代的细节。

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贯穿整份资料的核心问题

面对一个具体的微分方程，什么时候应该去求显式解，什么时候只能转而研究解的存在性、结构或长期行为？

从「把解求出来」到「理解解本身」：一条连续读完常微分方程的主线。下面每一站都不是独立考点清单，而是替这个问题补上一段必要的解释。

第 1 站
第一章基本概念
建立全课程的语言：微分方程与常微分方程、阶数与显隐式、线性与非线性、微分方程组与向量形式，以及解、通解、特解、初值问题与边值问题。最后引入积分曲线、方向场与等斜线，为后面的定性理论埋下几何伏笔。
微分方程的基本概念
第 2 站
第二章初等积分法
覆盖四类可初等求解的一阶方程：恰当方程与积分因子、变量分离方程、一阶线性方程、以及通过变量替换化归的齐次方程、伯努利方程与里卡蒂方程。本章也划出了初等积分法的边界——并非所有一阶方程都能初等求解。
恰当方程与积分因子变量分离方程一阶线性方程初等变换法：齐次、伯努利与里卡蒂方程
第 3 站
第三章解的存在唯一性
回答「解是否一定存在、是否唯一」：皮卡-林德勒夫存在唯一性定理与 Picard 逐步逼近法、佩亚诺存在定理、Osgood 条件，以及解的延伸定理与第一、第二比较定理。Gronwall 不等式与有限时间爆破是本章的两个重要推论。
第 4 站
第四章奇解与包络
处理一阶隐式方程：微分法与参数法、克莱罗方程；以及不含于通解族、却与积分曲线族处处相切的奇解。p-判别式与 c-判别式给出寻找奇解与包络的算法，并与教材中的判别定理相对应。
第 5 站
第五章高阶微分方程
把高阶方程化为一阶方程组，并强调这一化归的普遍性；随后在 n 维空间中重述存在唯一性，讨论解对初值与参数的连续依赖性与连续可微性，以及自治系统的平移不变性。
第 6 站
第六章线性方程组
线性方程组的一般理论：解矩阵、基本解组与基解矩阵，Wronski 行列式与 Liouville 公式，非齐次方程的常数变易法；然后是常系数方程组的矩阵指数、Jordan 标准形与待定指数函数法，以及高阶线性方程与 Euler 方程。
第 7 站
第七章幂级数解法
针对无法初等求解的方程，用幂级数表示解：常点邻域的幂级数解法与正则奇点邻域的 Frobenius 方法；并以勒让德方程、贝塞尔方程及其多项式解作为两条经典应用线索。
第 8 站
第八章定性理论
不再求显式解，转而研究轨线结构：李雅普诺夫稳定性与 V 函数法、相空间与极限环、Poincaré-Bendixson 定理与 Bendixson 判别法、分支现象，以及一维迭代映射与 Li-Yorke 意义下的混沌。
第 9 站
第九章边值问题
从初值问题转向边值问题：Sturm-Liouville 方程与边界条件、Sturm 比较定理、特征值性质与特征函数系的正交完备性。边值问题的存在性与唯一性远比初值问题复杂。
第 10 站
第十章首次积分
首次积分是把高阶或高维问题降阶的有力工具：其定义与等价描述、寻找方法、梯度与向量场的正交性、独立首次积分与可解性的关系，以及对称性与 Noether 定理的联系。
第 11 站
第十一章一阶偏微分方程初步
作为常微分方程方法的延伸，用特征线法处理一阶齐次线性与拟线性偏微分方程，并讨论 Cauchy 问题与特征曲线的几何意义。

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第 1 站

第一章基本概念

建立全课程的语言：微分方程与常微分方程、阶数与显隐式、线性与非线性、微分方程组与向量形式，以及解、通解、特解、初值问题与边值问题。最后引入积分曲线、方向场与等斜线，为后面的定性理论埋下几何伏笔。

01 · 1.1 微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

拿到一个方程先别急着解——先问清它几阶、显式还是隐式、线性还是非线性，因为在常微分方程里，看清对象本身就决定了后面能用哪套工具。

联系未知函数及其导数的方程称为微分方程；未知函数是一元函数、方程中只出现常导数的情形称为常微分方程，出现偏导数的称为偏微分方程。方程中出现的最高阶导数的阶数称为方程的阶，二阶及以上的统称高阶方程。若最高阶导数能从方程中解出，所得形式称为显式方程或规范形式，否则称为隐式方程；若方程关于 $y, y^{'}, \dots, y^{(n)}$ 是一次的，则称为线性方程。多个未知函数联立得到微分方程组，其中最重要的一阶正规形可写成向量形式 $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ ；把自变量看作时间、未知向量看作状态，就得到微分系统的动力系统观点，相应地有相空间、轨线、相图与平衡点。设 $y = φ (x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数，代入后使方程在 $I$ 上成为恒等式，则称它为方程在 $I$ 上的解。含 $n$ 个独立任意常数的解称为通解，不含任意常数的解称为特解；通解以隐式 $Φ (x, y, C_{1}, \dots, C_{n}) = 0$ 给出时称为通积分。附加初值条件 $y^{(k)} (x_{0}) = y_{0}^{(k)}$ 的问题称为初值问题（柯西问题）， $n$ 阶方程需要 $n$ 个初值条件；若条件给在区间端点，则称为边值问题。一阶方程可写成对称形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，此时 $x$ 与 $y$ 的地位对称；解在 $x y$ 平面上对应积分曲线，其上每点切线斜率等于 $f (x, y)$ ，全体线素构成方向场，斜率取同一常数 $k$ 的点的轨迹 $f (x, y) = k$ 称为等斜线。

读到这里，应该能做到：能对一个给定的微分方程准确说出它的阶数、属于显式还是隐式、线性还是非线性，并区分通解、特解、初值问题与边值问题；能解释方向场、等斜线与积分曲线之间的几何关系，并说明为什么 $P, Q$ 同时为零的点需要单独命名。

公式与边界

F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0

y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)})

\dfrac{d\mathbf{y}}{dx} = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})

P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0

y(x) = y_0 + \displaystyle\int_{x_0}^{x} f\big(\xi, y(\xi)\big)\, d\xi

使用前先确认

1.「阶」指方程中出现的最高阶导数的阶数，与方程中导数的最高次幂无关。
2.通解的「独立」是指 $n$ 个任意常数不能互相合并为更少的参数，形式上要求雅可比行列式 $\frac{\partial ( φ , φ ^{'} , \dots , φ ^{(n - 1)} )}{\partial ( C _{1} , C _{2} , \dots , C _{n} )} \neq = 0$ 。
3. $n$ 阶方程的通解含 $n$ 个任意常数，相应地初值问题需要 $n$ 个初值条件；个数必须相配，否则问题或不相容、或解不唯一。
4.对称形式讨论奇异点时，只有 $P, Q$ 同时为零的点才是奇异点；只要二者不同时为零，就总能在该点附近解出 $\frac{d y}{d x}$ 或 $\frac{d x}{d y}$ 。
5.「初值问题必有唯一解」不是无条件的，需要右端函数满足 Lipschitz 型条件。

概念对照

三个容易混淆的术语对照。它们形式相近，但着眼点不同，初学者最容易把「方程组」与「系统」当成一回事而说不清研究对象。

术语	形式	着眼点	典型问题
单个方程	$y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$	一个未知函数及其各阶导数	一阶线性方程、二阶常系数方程
微分方程组	若干方程联立，如 $y^{'} = f (x, y)$	多个未知函数之间的耦合	高阶方程降阶、线性方程组
微分系统	与方程组形式相同，属另一种称谓	动力系统观点：相空间、轨线、平衡点、稳定性	自治系统、奇点分类、极限环

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第二章初等积分法

覆盖四类可初等求解的一阶方程：恰当方程与积分因子、变量分离方程、一阶线性方程、以及通过变量替换化归的齐次方程、伯努利方程与里卡蒂方程。本章也划出了初等积分法的边界——并非所有一阶方程都能初等求解。

02 · 2.1 恰当方程与积分因子

恰当方程与积分因子

如果一个微分形式的左端恰好是某个二元函数的全微分，那么方程就把自己写成了 $d u = 0$ ，求解退化为「找一个势函数」；积分因子则是把不恰当方程改造成恰当方程的那个乘数。

对一阶方程的微分形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，若存在可微函数 $u (x, y)$ 使 $d u = P d x + Q d y$ ，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = P$ 、 $\frac{\partial u}{\partial y} = Q$ ，则称该方程为恰当方程（全微分方程）， $u$ 称为势函数；此时方程等价于 $d u = 0$ ，通解以隐式 $u (x, y) = C$ 给出，这正是通积分的典型形态。当 $P, Q$ 在单连通区域上连续可微时，方程为恰当方程的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 。若方程本身不恰当，但存在非零函数 $μ (x, y)$ 使 $μ P d x + μ Q d y = 0$ 成为恰当方程，则称 $μ$ 为积分因子。求积分因子的通用框架是：寻找只依赖某个 $φ (x, y)$ 的积分因子，其充要条件是 $Φ = \frac{\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y}{P φ _{y} - Q φ _{x}}$ 只依赖 $φ$ ，此时 $μ = exp (\int Φ (φ) d φ)$ ；把 $φ$ 取作 $x$ 、 $y$ 、 $x + y$ 、 $x - y$ 、 $x y$ 、 $y / x$ 、 $x^{2} + y^{2}$ 等常见组合，就得到一批常用判据。实际操作中更常用的是分组求积分因子法：把方程拆成若干组，各自凑成全微分，再把各组的积分因子合并。

读到这里，应该能做到：能判断一个微分形式是否为恰当方程并求出势函数与通积分；能对不恰当的方程按常用判据找出只依赖 $x$ 、 $y$ 或若干典型组合的积分因子；能用分组凑微分的方法处理结构明显的方程。

公式与边界

P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0

du = P\, dx + Q\, dy

\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}

u(x, y) = \displaystyle\int_{x_0}^{x} P(t, y_0)\, dt + \int_{y_0}^{y} Q(x, t)\, dt

\mu = \exp\left(\displaystyle\int \Phi(\varphi)\, d\varphi\right),\quad \Phi = \dfrac{\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y}{P\, \varphi_{y} - Q\, \varphi_{x}}

\mu(x) = e^{\int \phi(x)\, dx}

（当 $\dfrac{\partial P/\partial y - \partial Q/\partial x}{Q}$ 只依赖 $x$）

使用前先确认

1.判定条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 的充分性要求区域是单连通的；在挖去奇点的非单连通区域，它只是局部充分条件，势函数可能无法整体定义。
2.恰当方程求出的通积分 $u (x, y) = C$ 中，势函数唯一确定到相差一个常数。
3.积分因子总是存在的（只要 $P, Q$ 不同时为零），但未必能用初等函数显式表达。
4.积分因子不唯一：若 $μ$ 是积分因子、 $u$ 是原方程的首次积分，则 $μ \cdot F (u)$ 对任意非零可微函数 $F$ 也是积分因子。
5.分组法要求两组各自的积分因子能通过函数复合合并为同一个因子，否则分组失败。

概念对照

常用基本微分式。分组凑微分时并不需要重新计算，记住这张表即可直接把结构套上去。

组合	对应的全微分
$y d x + x d y$	$d (x y)$
$y d x - x d y$	$- x^{2} d (\frac{y}{x}) = y^{2} d (\frac{x}{y})$
$x d x + y d y$	$\frac{1}{2} d (x^{2} + y^{2})$
$x d x - y d y$	$\frac{1}{2} d (x^{2} - y^{2})$
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$	$\frac{1}{2} d (ln (x^{2} + y^{2}))$
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$	$d (x^{2} + y^{2})$

03 · 2.2 变量分离方程

变量分离方程

变量分离的全部内容就是「把 $x$ 和 $y$ 分到等号两边，然后各自积分」；真正容易失分的地方不在积分，而在除以因子之前有没有先问一句「这个因子会不会为零」。

对一阶方程的微分形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，若 $P, Q$ 都能写成仅含 $x$ 的函数与仅含 $y$ 的函数之积，即 $P = f_{1} (x) g_{1} (y)$ 、 $Q = f_{2} (x) g_{2} (y)$ ，则称该方程为变量分离方程。当 $Q \neq = 0$ 时方程也可改写为 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ ，这是最常见的写法，其中 $g (y) = - \frac{g _{1} ( y )}{g _{2} ( y )}$ 、 $f (x) = \frac{f _{1} ( x )}{f _{2} ( x )}$ 。求解步骤是：除以适当的乘积因子把变量分开，再逐项积分，得到隐式通积分 $\int \frac{f _{1} ( x )}{f _{2} ( x )} d x + \int \frac{g _{2} ( y )}{g _{1} ( y )} d y = C$ 。形如 $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 的方程（ $b \neq = 0$ ）可通过代换 $u = a x + b y + c$ 化为变量分离方程，这是变量替换思想的第一次出现。

读到这里，应该能做到：能判断一个一阶方程是否为变量分离方程，并正确分离变量、逐项积分求出通积分；能识别 $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 型方程并完成代换；在分离前先检查被除掉的因子是否对应漏解。

公式与边界

P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0,\quad P = f_1(x) g_1(y),\ Q = f_2(x) g_2(y)

\dfrac{dy}{dx} = f(x) g(y)

\displaystyle\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\, dx + \int \frac{g_2(y)}{g_1(y)}\, dy = C

\displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx + C

u = ax + by + c,\quad \dfrac{du}{dx} = a + b\, f(u)

使用前先确认

1.分离时需要除以 $g_{1} (y) f_{2} (x)$ ，因此要求该乘积不为零；除以零因子会丢失对应的常数解。
2.被除掉的因子（显式形式的 $g (y)$ ，或微分形式的 $g_{1} (y)$ 、 $f_{2} (x)$ ）的零点可能对应常数解 $y \equiv y_{*}$ ，需单独检验是否落在通解族之外。
3. $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 的代换要求 $b \neq = 0$ ；若 $b = 0$ ，右端直接是 $x$ 的函数，属于 $g (y) \equiv 1$ 的平凡特例，无需代换。
4.在显式形式 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ 中，若 $f$ 在区间 $I$ 上连续、 $g$ 在区间 $J$ 上连续且 $g (y) \neq = 0$ ，则对任意 $(x_{0}, y_{0}) \in I \times J$ 初值问题在 $x_{0}$ 附近存在唯一解。

概念对照

两种写法的对照。判断是否为变量分离方程时，用哪种形式看都行，但要注意两种写法下「被除掉的因子」是哪些。

写法	形式	分离方式	被除掉的因子
微分形式	$f_{1} (x) g_{1} (y) d x + f_{2} (x) g_{2} (y) d y = 0$	除以 $g_{1} (y) f_{2} (x)$	$g_{1} (y)$ 与 $f_{2} (x)$
显式形式	$\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$	$\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x$	$g (y)$

04 · 2.3 一阶线性方程

一阶线性方程

一阶线性方程是初等积分法里最值得背下通解公式的一类：因为它的积分因子只依赖 $x$ ，常数变易法、积分因子法、待定公式三条路最后都通向同一个结果。

形如 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ 的方程称为一阶线性微分方程，其中 $P, Q$ 在区间 $I$ 上连续； $Q \equiv 0$ 时称为齐次线性方程，否则称为非齐次线性方程。它的积分因子只依赖 $x$ ，为 $μ (x) = e^{\int P (x) d x}$ ，乘上后方程化为 $(e^{\int P d x} y)^{'} = e^{\int P d x} Q (x)$ ，两边积分即得通解 $y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$ 。同一结果也可由常数变易法得到：先解齐次方程得 $y = C e^{- \int P d x}$ ，再把常数 $C$ 变易为函数 $C (x)$ 代入非齐次方程，得 $C^{'} (x) = Q (x) e^{\int P d x}$ ，积分即得通解。非齐次方程的通解结构是「齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解」。与非线性方程不同，一阶线性方程在 $P, Q$ 连续的条件下通解公式覆盖了全部解，不存在通解族之外的解。

读到这里，应该能做到：能识别一阶线性方程并写出它的积分因子；能熟练使用常数变易法和积分因子法求通解与初值问题的特解；能说明为什么线性方程不存在奇解。

公式与边界

y' + P(x)\, y = Q(x)

\mu(x) = e^{\int P(x)\, dx}

\left(e^{\int P\, dx} y\right)' = e^{\int P\, dx} Q(x)

y = e^{-\int P\, dx}\left(\displaystyle\int Q\, e^{\int P\, dx}\, dx + C\right)

y(x) = e^{-\int_{x_0}^{x} P(t)\, dt}\left(y_0 + \displaystyle\int_{x_0}^{x} Q(s)\, e^{\int_{x_0}^{s} P(t)\, dt}\, ds\right)

y = y_{h} + y_{p}

使用前先确认

1.标准形式要求 $y^{'}$ 的系数为 $1$ ；若方程以其他系数出现，须先化为 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ 再套公式。
2. $P (x)$ 与 $Q (x)$ 需在所讨论区间 $I$ 上连续，此时初值问题在 $I$ 上有唯一解。
3.齐次线性方程的任一解在区间上或者恒为零、或者恒不为零；特别地，若某点处取零值则解恒为零——这也说明齐次方程没有非零解在内部取零值。
4.常数变易法只把齐次通解中的常数换成函数，齐次解部分的结构不变，因此必须先正确求出齐次通解。

05 · 2.4 初等变换法

初等变换法：齐次、伯努利与里卡蒂方程

初等变换法的全部技巧只有一句话——通过引入新未知函数，把方程硬拉回已知能解的那几类；齐次方程化为变量分离，伯努利化为线性，里卡蒂在已知一个特解时化为伯努利。

初等变换法（变量替换法）通过引入新的未知函数，把方程转化为已知可解的类型。若 $P, Q$ 都是 $x, y$ 的同次齐次函数，即存在 $m$ 使 $P (t x, t y) = t^{m} P (x, y)$ 、 $Q (t x, t y) = t^{m} Q (x, y)$ ，则方程称为齐次方程；它有等价刻画 $y^{'} = f (\frac{y}{x})$ ，用代换 $u = \frac{y}{x}$ 即可化为变量分离方程。形如 $y^{'} = f (\frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{a _{2} x + b _{2} y + c _{2}})$ 的方程，按系数行列式 $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 是否为零分两种情形处理： $Δ \neq = 0$ 时先求出两直线交点、作平移后化为齐次方程； $Δ = 0$ 时两直线平行，令 $u = a_{1} x + b_{1} y$ 直接化为变量分离方程。伯努利方程 $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ （ $n \neq = 0, 1$ ）通过代换 $z = y^{1 - n}$ 精确化为一阶线性方程 $z^{'} + (1 - n) P (x) z = (1 - n) Q (x)$ 。里卡蒂方程 $y^{'} = P (x) y^{2} + Q (x) y + R (x)$ 一般无初等解法，但已知一个特解 $y_{1}$ 时，令 $y = y_{1} + u$ 可化为伯努利方程 $u^{'} = [2 P y_{1} + Q] u + P u^{2}$ ；已知两个特解可直接化为线性方程，已知三个特解则可写出交比形式的通解。

读到这里，应该能做到：能识别齐次方程、可化为齐次的方程、伯努利方程与里卡蒂方程，并分别为它们选择正确的代换；能说明伯努利方程线性化的完整过程，以及里卡蒂方程的降阶性质。

公式与边界

P(tx, ty) = t^m P(x, y),\quad Q(tx, ty) = t^m Q(x, y)

y' = f\left(\dfrac{y}{x}\right),\quad x\dfrac{du}{dx} = f(u) - u

y' = f\left(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right),\quad \Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1

y' + P(x)\, y = Q(x)\, y^n

z = y^{1-n},\quad z' + (1-n) P(x)\, z = (1-n) Q(x)

y' = P(x)\, y^2 + Q(x)\, y + R(x)

u' = [2 P(x) y_1 + Q(x)]\, u + P(x)\, u^2

使用前先确认

1.齐次方程要求 $P, Q$ 是同次齐次函数；此处的「齐次」指 $P, Q$ 的齐次性，与线性方程中的「齐次」含义完全不同。
2.齐次方程的代换 $u = \frac{y}{x}$ 隐含 $x \neq = 0$ ； $x = 0$ 附近需单独讨论，必要时改用 $v = \frac{x}{y}$ 反向处理。
3.可化为齐次的方程要按 $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 是否为零分支： $Δ \neq = 0$ 用平移化为齐次， $Δ = 0$ 用 $u = a_{1} x + b_{1} y$ 化为变量分离。
4.伯努利方程要求 $n \neq = 0, 1$ ： $n = 0$ 时它本身就是线性方程， $n = 1$ 时是变量分离方程。
5.里卡蒂方程仅在已知足够多特解时才有初等解法；一般情形无初等解，这划定了初等积分法的边界。

概念对照

三类典型方程与对应的代换。这张表是本章的检索入口：先判断方程属于哪一类，再选代换。

方程类型	标准形式	代换	化为
齐次方程	$y^{'} = f (\frac{y}{x})$	$u = \frac{y}{x}$	变量分离方程 $\frac{d u}{f ( u ) - u} = \frac{d x}{x}$
伯努利方程	$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$	$z = y^{1 - n}$	线性方程 $z^{'} + (1 - n) P z = (1 - n) Q$
里卡蒂方程（已知一个特解 $y_{1}$ ）	$y^{'} = P y^{2} + Q y + R$	$y = y_{1} + u$	伯努利方程 $u^{'} = [2 P y_{1} + Q] u + P u^{2}$

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第三章解的存在唯一性

回答「解是否一定存在、是否唯一」：皮卡-林德勒夫存在唯一性定理与 Picard 逐步逼近法、佩亚诺存在定理、Osgood 条件，以及解的延伸定理与第一、第二比较定理。Gronwall 不等式与有限时间爆破是本章的两个重要推论。

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第四章奇解与包络

处理一阶隐式方程：微分法与参数法、克莱罗方程；以及不含于通解族、却与积分曲线族处处相切的奇解。p-判别式与 c-判别式给出寻找奇解与包络的算法，并与教材中的判别定理相对应。

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第五章高阶微分方程

把高阶方程化为一阶方程组，并强调这一化归的普遍性；随后在 n 维空间中重述存在唯一性，讨论解对初值与参数的连续依赖性与连续可微性，以及自治系统的平移不变性。

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第六章线性方程组

线性方程组的一般理论：解矩阵、基本解组与基解矩阵，Wronski 行列式与 Liouville 公式，非齐次方程的常数变易法；然后是常系数方程组的矩阵指数、Jordan 标准形与待定指数函数法，以及高阶线性方程与 Euler 方程。

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第七章幂级数解法

针对无法初等求解的方程，用幂级数表示解：常点邻域的幂级数解法与正则奇点邻域的 Frobenius 方法；并以勒让德方程、贝塞尔方程及其多项式解作为两条经典应用线索。

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第八章定性理论

不再求显式解，转而研究轨线结构：李雅普诺夫稳定性与 V 函数法、相空间与极限环、Poincaré-Bendixson 定理与 Bendixson 判别法、分支现象，以及一维迭代映射与 Li-Yorke 意义下的混沌。

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第九章边值问题

从初值问题转向边值问题：Sturm-Liouville 方程与边界条件、Sturm 比较定理、特征值性质与特征函数系的正交完备性。边值问题的存在性与唯一性远比初值问题复杂。

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第十章首次积分

首次积分是把高阶或高维问题降阶的有力工具：其定义与等价描述、寻找方法、梯度与向量场的正交性、独立首次积分与可解性的关系，以及对称性与 Noether 定理的联系。

第 11 站

第十一章一阶偏微分方程初步

作为常微分方程方法的延伸，用特征线法处理一阶齐次线性与拟线性偏微分方程，并讨论 Cauchy 问题与特征曲线的几何意义。

面对一个具体的微分方程，什么时候应该去求显式解，什么时候只能转而研究解的存在性、结构或长期行为？

第一章 基本概念

第二章 初等积分法

第三章 解的存在唯一性

第四章 奇解与包络

第五章 高阶微分方程

第六章 线性方程组

第七章 幂级数解法

第八章 定性理论

第九章 边值问题

第十章 首次积分

第十一章 一阶偏微分方程初步

公式与边界

使用前先确认

公式与边界

使用前先确认

公式与边界

使用前先确认

公式与边界

使用前先确认

公式与边界

使用前先确认

第一章基本概念

第二章初等积分法

第三章解的存在唯一性

第四章奇解与包络

第五章高阶微分方程

第六章线性方程组

第七章幂级数解法

第八章定性理论

第九章边值问题

第十章首次积分

第十一章一阶偏微分方程初步