常微分方程 · 第一章基本概念 · 1.1 微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

拿到一个方程先别急着解——先问清它几阶、显式还是隐式、线性还是非线性，因为在常微分方程里，看清对象本身就决定了后面能用哪套工具。

联系未知函数及其导数的方程称为微分方程；未知函数是一元函数、方程中只出现常导数的情形称为常微分方程，出现偏导数的称为偏微分方程。方程中出现的最高阶导数的阶数称为方程的阶，二阶及以上的统称高阶方程。若最高阶导数能从方程中解出，所得形式称为显式方程或规范形式，否则称为隐式方程；若方程关于 $y, y^{'}, \dots, y^{(n)}$ 是一次的，则称为线性方程。多个未知函数联立得到微分方程组，其中最重要的一阶正规形可写成向量形式 $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ ；把自变量看作时间、未知向量看作状态，就得到微分系统的动力系统观点，相应地有相空间、轨线、相图与平衡点。设 $y = φ (x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数，代入后使方程在 $I$ 上成为恒等式，则称它为方程在 $I$ 上的解。含 $n$ 个独立任意常数的解称为通解，不含任意常数的解称为特解；通解以隐式 $Φ (x, y, C_{1}, \dots, C_{n}) = 0$ 给出时称为通积分。附加初值条件 $y^{(k)} (x_{0}) = y_{0}^{(k)}$ 的问题称为初值问题（柯西问题）， $n$ 阶方程需要 $n$ 个初值条件；若条件给在区间端点，则称为边值问题。一阶方程可写成对称形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，此时 $x$ 与 $y$ 的地位对称；解在 $x y$ 平面上对应积分曲线，其上每点切线斜率等于 $f (x, y)$ ，全体线素构成方向场，斜率取同一常数 $k$ 的点的轨迹 $f (x, y) = k$ 称为等斜线。

开始自测

学完要会什么

能对一个给定的微分方程准确说出它的阶数、属于显式还是隐式、线性还是非线性，并区分通解、特解、初值问题与边值问题；能解释方向场、等斜线与积分曲线之间的几何关系，并说明为什么 $P, Q$ 同时为零的点需要单独命名。

做题前先检查

「阶」指方程中出现的最高阶导数的阶数，与方程中导数的最高次幂无关。
通解的「独立」是指 $n$ 个任意常数不能互相合并为更少的参数，形式上要求雅可比行列式 $\frac{\partial ( φ , φ ^{'} , \dots , φ ^{(n - 1)} )}{\partial ( C _{1} , C _{2} , \dots , C _{n} )} \neq = 0$ 。
$n$ 阶方程的通解含 $n$ 个任意常数，相应地初值问题需要 $n$ 个初值条件；个数必须相配，否则问题或不相容、或解不唯一。
对称形式讨论奇异点时，只有 $P, Q$ 同时为零的点才是奇异点；只要二者不同时为零，就总能在该点附近解出 $\frac{d y}{d x}$ 或 $\frac{d x}{d y}$ 。
「初值问题必有唯一解」不是无条件的，需要右端函数满足 Lipschitz 型条件。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 为什么判断阶数时只看导数的阶，不看导数前面的指数？

提示：看 $(y^{''})^{2} + y^{'} = 0$ 是几阶。

2. 通解里已经有一个任意常数了，为什么不能说它包含了方程的「全部」解？

提示：想一想与积分曲线族处处相切那条曲线。

3. 方向场里为什么可以「不解方程」就看出解的走向？

提示：线素的斜率是谁给的？

对比表：把概念放回同一张桌子

三个容易混淆的术语对照。它们形式相近，但着眼点不同，初学者最容易把「方程组」与「系统」当成一回事而说不清研究对象。

术语	形式	着眼点	典型问题
单个方程	$y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$	一个未知函数及其各阶导数	一阶线性方程、二阶常系数方程
微分方程组	若干方程联立，如 $y^{'} = f (x, y)$	多个未知函数之间的耦合	高阶方程降阶、线性方程组
微分系统	与方程组形式相同，属另一种称谓	动力系统观点：相空间、轨线、平衡点、稳定性	自治系统、奇点分类、极限环

关键公式

$F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$
$y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)})$
$\dfrac{d\mathbf{y}}{dx} = \mathbf{f}(x, \mathbf{y})$
$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$
$y(x) = y_0 + \displaystyle\int_{x_0}^{x} f\big(\xi, y(\xi)\big)\, d\xi$

常见易错点

把「阶」与方程中导数的最高次幂混为一谈，例如把 $(y^{''})^{2} + y^{'} = 0$ 误判为四阶或其他阶数。
认为凡是解都能由通解取定常数得到，从而忽略奇解的存在。
给 $n$ 阶方程只配一个初值条件，或反过来在未确认存在唯一性时就直接断言初值问题有唯一解。
在对称形式下把普通点与奇异点混淆，在 $P, Q$ 同时为零的点上仍然试图求出唯一的切线斜率。
把奇解与常数解等同起来：常数解是通解的一个特例，而奇解并不含于通解族。