常微分方程 · 第二章初等积分法 · 2.4 初等变换法

初等变换法：齐次、伯努利与里卡蒂方程

初等变换法的全部技巧只有一句话——通过引入新未知函数，把方程硬拉回已知能解的那几类；齐次方程化为变量分离，伯努利化为线性，里卡蒂在已知一个特解时化为伯努利。

初等变换法（变量替换法）通过引入新的未知函数，把方程转化为已知可解的类型。若 $P, Q$ 都是 $x, y$ 的同次齐次函数，即存在 $m$ 使 $P (t x, t y) = t^{m} P (x, y)$ 、 $Q (t x, t y) = t^{m} Q (x, y)$ ，则方程称为齐次方程；它有等价刻画 $y^{'} = f (\frac{y}{x})$ ，用代换 $u = \frac{y}{x}$ 即可化为变量分离方程。形如 $y^{'} = f (\frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{a _{2} x + b _{2} y + c _{2}})$ 的方程，按系数行列式 $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 是否为零分两种情形处理： $Δ \neq = 0$ 时先求出两直线交点、作平移后化为齐次方程； $Δ = 0$ 时两直线平行，令 $u = a_{1} x + b_{1} y$ 直接化为变量分离方程。伯努利方程 $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ （ $n \neq = 0, 1$ ）通过代换 $z = y^{1 - n}$ 精确化为一阶线性方程 $z^{'} + (1 - n) P (x) z = (1 - n) Q (x)$ 。里卡蒂方程 $y^{'} = P (x) y^{2} + Q (x) y + R (x)$ 一般无初等解法，但已知一个特解 $y_{1}$ 时，令 $y = y_{1} + u$ 可化为伯努利方程 $u^{'} = [2 P y_{1} + Q] u + P u^{2}$ ；已知两个特解可直接化为线性方程，已知三个特解则可写出交比形式的通解。

开始自测

学完要会什么

能识别齐次方程、可化为齐次的方程、伯努利方程与里卡蒂方程，并分别为它们选择正确的代换；能说明伯努利方程线性化的完整过程，以及里卡蒂方程的降阶性质。

做题前先检查

齐次方程要求 $P, Q$ 是同次齐次函数；此处的「齐次」指 $P, Q$ 的齐次性，与线性方程中的「齐次」含义完全不同。
齐次方程的代换 $u = \frac{y}{x}$ 隐含 $x \neq = 0$ ； $x = 0$ 附近需单独讨论，必要时改用 $v = \frac{x}{y}$ 反向处理。
可化为齐次的方程要按 $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 是否为零分支： $Δ \neq = 0$ 用平移化为齐次， $Δ = 0$ 用 $u = a_{1} x + b_{1} y$ 化为变量分离。
伯努利方程要求 $n \neq = 0, 1$ ： $n = 0$ 时它本身就是线性方程， $n = 1$ 时是变量分离方程。
里卡蒂方程仅在已知足够多特解时才有初等解法；一般情形无初等解，这划定了初等积分法的边界。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 齐次方程的定义里为什么只要求 $P, Q$ 同次齐次，就能推出 $y^{'}$ 只依赖 $y / x$ ？

提示：把 $x$ 从 $P (x, y)$ 里提出去。

2. 伯努利方程里为什么要除以 $y^{n}$ ，而不是别的东西？

提示：你想把右边那项 $Q (x) y^{n}$ 变成什么？

3. 里卡蒂方程已知一个特解后，为什么化出来的是伯努利方程而不是线性方程？

提示：看 $u^{'} = [2 P y_{1} + Q] u + P u^{2}$ 中 $u^{2}$ 那一项。

对比表：把概念放回同一张桌子

三类典型方程与对应的代换。这张表是本章的检索入口：先判断方程属于哪一类，再选代换。

方程类型	标准形式	代换	化为
齐次方程	$y^{'} = f (\frac{y}{x})$	$u = \frac{y}{x}$	变量分离方程 $\frac{d u}{f ( u ) - u} = \frac{d x}{x}$
伯努利方程	$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$	$z = y^{1 - n}$	线性方程 $z^{'} + (1 - n) P z = (1 - n) Q$
里卡蒂方程（已知一个特解 $y_{1}$ ）	$y^{'} = P y^{2} + Q y + R$	$y = y_{1} + u$	伯努利方程 $u^{'} = [2 P y_{1} + Q] u + P u^{2}$

关键公式

$P(tx, ty) = t^m P(x, y),\quad Q(tx, ty) = t^m Q(x, y)$
$y' = f\left(\dfrac{y}{x}\right),\quad x\dfrac{du}{dx} = f(u) - u$
$y' = f\left(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right),\quad \Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$
$y' + P(x)\, y = Q(x)\, y^n$
$z = y^{1-n},\quad z' + (1-n) P(x)\, z = (1-n) Q(x)$
$y' = P(x)\, y^2 + Q(x)\, y + R(x)$
$u' = [2 P(x) y_1 + Q(x)]\, u + P(x)\, u^2$

常见易错点

把齐次方程的「齐次」与线性方程的「齐次」当成同一个概念，看到「齐次」二字就用错方法。
处理 $y^{'} = f (\frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{a _{2} x + b _{2} y + c _{2}})$ 时不先算 $Δ$ ，对所有情形都用平移，结果在 $Δ = 0$ 时方程组无解、卡住。
代换 $u = \frac{y}{x}$ 时把 $y^{'} = u + x u^{'}$ 记成 $y^{'} = u^{'}$ ，漏掉 $x u^{'}$ 这一项。
在伯努利方程中把 $n = 0$ 或 $n = 1$ 也套用 $z = y^{1 - n}$ ，导致 $1 - n$ 为零或 $z$ 退化。
误以为里卡蒂方程总能初等求解，忽略它一般无初等解这一事实。