常微分方程 · 第二章初等积分法 · 2.1 恰当方程与积分因子

恰当方程与积分因子

如果一个微分形式的左端恰好是某个二元函数的全微分，那么方程就把自己写成了 $d u = 0$ ，求解退化为「找一个势函数」；积分因子则是把不恰当方程改造成恰当方程的那个乘数。

对一阶方程的微分形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，若存在可微函数 $u (x, y)$ 使 $d u = P d x + Q d y$ ，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = P$ 、 $\frac{\partial u}{\partial y} = Q$ ，则称该方程为恰当方程（全微分方程）， $u$ 称为势函数；此时方程等价于 $d u = 0$ ，通解以隐式 $u (x, y) = C$ 给出，这正是通积分的典型形态。当 $P, Q$ 在单连通区域上连续可微时，方程为恰当方程的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 。若方程本身不恰当，但存在非零函数 $μ (x, y)$ 使 $μ P d x + μ Q d y = 0$ 成为恰当方程，则称 $μ$ 为积分因子。求积分因子的通用框架是：寻找只依赖某个 $φ (x, y)$ 的积分因子，其充要条件是 $Φ = \frac{\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y}{P φ _{y} - Q φ _{x}}$ 只依赖 $φ$ ，此时 $μ = exp (\int Φ (φ) d φ)$ ；把 $φ$ 取作 $x$ 、 $y$ 、 $x + y$ 、 $x - y$ 、 $x y$ 、 $y / x$ 、 $x^{2} + y^{2}$ 等常见组合，就得到一批常用判据。实际操作中更常用的是分组求积分因子法：把方程拆成若干组，各自凑成全微分，再把各组的积分因子合并。

开始自测

学完要会什么

能判断一个微分形式是否为恰当方程并求出势函数与通积分；能对不恰当的方程按常用判据找出只依赖 $x$ 、 $y$ 或若干典型组合的积分因子；能用分组凑微分的方法处理结构明显的方程。

做题前先检查

判定条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 的充分性要求区域是单连通的；在挖去奇点的非单连通区域，它只是局部充分条件，势函数可能无法整体定义。
恰当方程求出的通积分 $u (x, y) = C$ 中，势函数唯一确定到相差一个常数。
积分因子总是存在的（只要 $P, Q$ 不同时为零），但未必能用初等函数显式表达。
积分因子不唯一：若 $μ$ 是积分因子、 $u$ 是原方程的首次积分，则 $μ \cdot F (u)$ 对任意非零可微函数 $F$ 也是积分因子。
分组法要求两组各自的积分因子能通过函数复合合并为同一个因子，否则分组失败。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 为什么判定恰当方程只要验证一个偏导等式就够了？

提示：回忆势函数 $u$ 的二阶混合偏导数。

2. 求积分因子时，为什么要求那个分式「只依赖 $φ$ 」？

提示：如果结果里还残留 $x$ 或 $y$ ，还能开出一元积分吗？

3. 分组法为什么能把两个不同的积分因子「合并」成一个？

提示：两组分子在凑成 $d Φ$ 之后，还差什么条件才能配成同一个乘数？

对比表：把概念放回同一张桌子

常用基本微分式。分组凑微分时并不需要重新计算，记住这张表即可直接把结构套上去。

组合	对应的全微分
$y d x + x d y$	$d (x y)$
$y d x - x d y$	$- x^{2} d (\frac{y}{x}) = y^{2} d (\frac{x}{y})$
$x d x + y d y$	$\frac{1}{2} d (x^{2} + y^{2})$
$x d x - y d y$	$\frac{1}{2} d (x^{2} - y^{2})$
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$	$\frac{1}{2} d (ln (x^{2} + y^{2}))$
$\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}}$	$d (x^{2} + y^{2})$

关键公式

$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$
$du = P\, dx + Q\, dy$
$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$
$u(x, y) = \displaystyle\int_{x_0}^{x} P(t, y_0)\, dt + \int_{y_0}^{y} Q(x, t)\, dt$
$\mu = \exp\left(\displaystyle\int \Phi(\varphi)\, d\varphi\right),\quad \Phi = \dfrac{\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y}{P\, \varphi_{y} - Q\, \varphi_{x}}$
$\mu(x) = e^{\int \phi(x)\, dx}$ （当 $\dfrac{\partial P/\partial y - \partial Q/\partial x}{Q}$ 只依赖 $x$）

常见易错点

只验证了偏导等式相等就下结论，忽略充分性需要区域单连通这一前提。
求势函数时把 $φ (y)$ 直接当成常数丢掉，导致对 $y$ 的信息缺失。
把积分因子当成唯一的，试图去找「那个」积分因子，而不是找到任意一个可用的。
分组时两组乘上了互不相容的因子，强行相加，凑不出同一个全微分。
把恰当方程的隐式通解 $u (x, y) = C$ 误当成显式解去强行解出 $y$ ，反而把问题做复杂。