常微分方程 · 第二章初等积分法 · 2.3 一阶线性方程

一阶线性方程

一阶线性方程是初等积分法里最值得背下通解公式的一类：因为它的积分因子只依赖 $x$ ，常数变易法、积分因子法、待定公式三条路最后都通向同一个结果。

形如 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ 的方程称为一阶线性微分方程，其中 $P, Q$ 在区间 $I$ 上连续； $Q \equiv 0$ 时称为齐次线性方程，否则称为非齐次线性方程。它的积分因子只依赖 $x$ ，为 $μ (x) = e^{\int P (x) d x}$ ，乘上后方程化为 $(e^{\int P d x} y)^{'} = e^{\int P d x} Q (x)$ ，两边积分即得通解 $y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$ 。同一结果也可由常数变易法得到：先解齐次方程得 $y = C e^{- \int P d x}$ ，再把常数 $C$ 变易为函数 $C (x)$ 代入非齐次方程，得 $C^{'} (x) = Q (x) e^{\int P d x}$ ，积分即得通解。非齐次方程的通解结构是「齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解」。与非线性方程不同，一阶线性方程在 $P, Q$ 连续的条件下通解公式覆盖了全部解，不存在通解族之外的解。

开始自测

学完要会什么

能识别一阶线性方程并写出它的积分因子；能熟练使用常数变易法和积分因子法求通解与初值问题的特解；能说明为什么线性方程不存在奇解。

做题前先检查

标准形式要求 $y^{'}$ 的系数为 $1$ ；若方程以其他系数出现，须先化为 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ 再套公式。
$P (x)$ 与 $Q (x)$ 需在所讨论区间 $I$ 上连续，此时初值问题在 $I$ 上有唯一解。
齐次线性方程的任一解在区间上或者恒为零、或者恒不为零；特别地，若某点处取零值则解恒为零——这也说明齐次方程没有非零解在内部取零值。
常数变易法只把齐次通解中的常数换成函数，齐次解部分的结构不变，因此必须先正确求出齐次通解。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 为什么一阶线性方程的积分因子只依赖 $x$ ，而无须像一般情形那样去找 $μ (x, y)$ ？

提示：把方程写成微分形式，看看积分因子判据里的分式会变成什么。

2. 常数变易法为什么「变易」的是常数而不是别的？

提示：齐次通解已经满足方程的左端结构了，还差什么？

3. 非线性方程可能出现奇解，为什么一阶线性方程不会？

提示：通解公式有没有「漏掉」什么？

关键公式

$y' + P(x)\, y = Q(x)$
$\mu(x) = e^{\int P(x)\, dx}$
$\left(e^{\int P\, dx} y\right)' = e^{\int P\, dx} Q(x)$
$y = e^{-\int P\, dx}\left(\displaystyle\int Q\, e^{\int P\, dx}\, dx + C\right)$
$y(x) = e^{-\int_{x_0}^{x} P(t)\, dt}\left(y_0 + \displaystyle\int_{x_0}^{x} Q(s)\, e^{\int_{x_0}^{s} P(t)\, dt}\, ds\right)$
$y = y_{h} + y_{p}$

常见易错点

忘记先把方程化成 $y^{'}$ 系数为 $1$ 的标准形式就直接套用通解公式，导致 $P, Q$ 取错。
常数变易时把 $C (x)$ 的位置放错，或在代入过程中漏掉 $C (x)$ 求导产生的那一项。
在求初值问题的特解时，先代入初值再积分，导致积分限混乱；正确做法是先把通解写完整再定常数，或直接使用定积分形式的公式。
误以为齐次解可以取零值而不恒为零，忽略齐次线性方程解的非零性。
把一阶线性方程的「齐次」与齐次方程 $y^{'} = f (y / x)$ 中的「齐次」混为一谈。