常微分方程 · 第二章初等积分法 · 2.2 变量分离方程

变量分离方程

变量分离的全部内容就是「把 $x$ 和 $y$ 分到等号两边，然后各自积分」；真正容易失分的地方不在积分，而在除以因子之前有没有先问一句「这个因子会不会为零」。

对一阶方程的微分形式 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ ，若 $P, Q$ 都能写成仅含 $x$ 的函数与仅含 $y$ 的函数之积，即 $P = f_{1} (x) g_{1} (y)$ 、 $Q = f_{2} (x) g_{2} (y)$ ，则称该方程为变量分离方程。当 $Q \neq = 0$ 时方程也可改写为 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ ，这是最常见的写法，其中 $g (y) = - \frac{g _{1} ( y )}{g _{2} ( y )}$ 、 $f (x) = \frac{f _{1} ( x )}{f _{2} ( x )}$ 。求解步骤是：除以适当的乘积因子把变量分开，再逐项积分，得到隐式通积分 $\int \frac{f _{1} ( x )}{f _{2} ( x )} d x + \int \frac{g _{2} ( y )}{g _{1} ( y )} d y = C$ 。形如 $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 的方程（ $b \neq = 0$ ）可通过代换 $u = a x + b y + c$ 化为变量分离方程，这是变量替换思想的第一次出现。

开始自测

学完要会什么

能判断一个一阶方程是否为变量分离方程，并正确分离变量、逐项积分求出通积分；能识别 $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 型方程并完成代换；在分离前先检查被除掉的因子是否对应漏解。

做题前先检查

分离时需要除以 $g_{1} (y) f_{2} (x)$ ，因此要求该乘积不为零；除以零因子会丢失对应的常数解。
被除掉的因子（显式形式的 $g (y)$ ，或微分形式的 $g_{1} (y)$ 、 $f_{2} (x)$ ）的零点可能对应常数解 $y \equiv y_{*}$ ，需单独检验是否落在通解族之外。
$y^{'} = f (a x + b y + c)$ 的代换要求 $b \neq = 0$ ；若 $b = 0$ ，右端直接是 $x$ 的函数，属于 $g (y) \equiv 1$ 的平凡特例，无需代换。
在显式形式 $\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$ 中，若 $f$ 在区间 $I$ 上连续、 $g$ 在区间 $J$ 上连续且 $g (y) \neq = 0$ ，则对任意 $(x_{0}, y_{0}) \in I \times J$ 初值问题在 $x_{0}$ 附近存在唯一解。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 为什么变量分离方程的通解里恰好只有一个任意常数？

提示：它是一阶方程，还是二阶？

2. 解 $\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ 时， $y \equiv 0$ 是不是多余的？

提示：把它代回通解 $y = - \frac{1}{x ^{2} /2 + C}$ 试试。

3. 代换 $u = a x + b y + c$ 为什么能把方程变成变量分离型？

提示：先算出 $u^{'}$ 与 $y^{'}$ 的关系。

对比表：把概念放回同一张桌子

两种写法的对照。判断是否为变量分离方程时，用哪种形式看都行，但要注意两种写法下「被除掉的因子」是哪些。

写法	形式	分离方式	被除掉的因子
微分形式	$f_{1} (x) g_{1} (y) d x + f_{2} (x) g_{2} (y) d y = 0$	除以 $g_{1} (y) f_{2} (x)$	$g_{1} (y)$ 与 $f_{2} (x)$
显式形式	$\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$	$\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x$	$g (y)$

关键公式

$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0,\quad P = f_1(x) g_1(y),\ Q = f_2(x) g_2(y)$
$\dfrac{dy}{dx} = f(x) g(y)$
$\displaystyle\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\, dx + \int \frac{g_2(y)}{g_1(y)}\, dy = C$
$\displaystyle\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx + C$
$u = ax + by + c,\quad \dfrac{du}{dx} = a + b\, f(u)$

常见易错点

分离时直接除以可能为零的因子，事后又不检验漏解。
把两个积分常数都保留下来，使通解里出现多余的任意常数。
在 $y^{'} = f (a x + b y + c)$ 中对 $b = 0$ 的情形也强行代换，导致无意义的表达。
得到隐式通积分后非要解出 $y$ ，在有对数或反三角的情形下把定义域讨论错。
把「变量分离」与「齐次方程」混为一谈：齐次方程要经过 $u = y / x$ 代换后才变成变量分离型，本身并不直接可分离。