线性代数 · 第二章行列式 · 2.4 克拉默法则

克拉默法则

对于线性方程组 $A X = b$ ，当 $∣ A ∣ \neq = 0$ 时，克拉默法则可以用行列式表示它的唯一解。

对于 n 元线性方程组 $A X = b$ ，若 $A$ 是 n 阶方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则方程组有唯一解。把 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数项列向量 $b$ ，得到 $A_{i}$ ；第 $i$ 个未知量可由相应行列式之比求出。克拉默法则更适合理解理论关系和处理小规模计算，不适合大规模手算。

开始自测

学完要会什么

能按照本页的图解路径说明“克拉默法则”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。

做题前先检查

先明确题目研究的对象与符号，避免把“克拉默法则”和相近概念混用。
需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：克拉默公式：x_i=\frac{\lvert A_i\rvert}{\lvert A\rvert},\quad i=1,2,\ldots,n。
最后复核一个高频易错点：忘记克拉默法则要求 $A$ 为方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$ 。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 克拉默法则能用的第一道门槛是什么？

提示：先看系数行列式。

2. 求 xᵢ 时，替换的是哪一列？

提示：替换位置与未知量下标一致。

3. 若 D=0，能否直接说方程组无解？

提示：零行列式只否定“唯一解”。

关键公式

克拉默公式： $x_{i} = \frac{∣ A _{i} ∣}{∣ A ∣}, i = 1, 2, \dots, n$
替换矩阵： $A_{i} = [a_{1}, \dots, a_{i - 1}, b, a_{i + 1}, \dots, a_{n}]$
齐次情形： $A X = 0 有非零解 \Leftrightarrow ∣ A ∣ = 0$

常见易错点

忘记克拉默法则要求 $A$ 为方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$
构造 $A_{i}$ 时替换了错误的列
误以为克拉默法则适用于任意形状的线性方程组