线性代数 · 第二章行列式 · 2.4 克拉默法则

克拉默法则

对于线性方程组 $A X = b$ ，当 $∣ A ∣ \neq = 0$ 时，克拉默法则可以用行列式表示它的唯一解。

对于 n 元线性方程组 $A X = b$ ，若 $A$ 是 n 阶方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则方程组有唯一解。把 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数项列向量 $b$ ，得到 $A_{i}$ ；第 $i$ 个未知量可由相应行列式之比求出。克拉默法则更适合理解理论关系和处理小规模计算，不适合大规模手算。

开始自测

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“克拉默法则”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：忘记克拉默法则要求 $A$ 为方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

行列式：面积/体积的缩放直觉

二维里，行列式的绝对值可理解为平行四边形面积的缩放因子；符号还记录了方向是否翻转。

关键公式

克拉默公式： $x_{i} = \frac{∣ A _{i} ∣}{∣ A ∣}, i = 1, 2, \dots, n$
替换矩阵： $A_{i} = [a_{1}, \dots, a_{i - 1}, b, a_{i + 1}, \dots, a_{n}]$
齐次情形： $A X = 0 有非零解 \Leftrightarrow ∣ A ∣ = 0$

常见易错点

忘记克拉默法则要求 $A$ 为方阵且 $∣ A ∣ \neq = 0$
构造 $A_{i}$ 时替换了错误的列
误以为克拉默法则适用于任意形状的线性方程组