线性代数 · 第二章行列式 · 2.2 行列式性质与可逆性

行列式乘法性与可逆性

方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，因此行列式是否为零能直接判断方阵能否可逆。

对同阶方阵， $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣$ 。这条性质把矩阵乘法与可逆性连接起来：若 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则 $A$ 可逆；若 $∣ A ∣ = 0$ ，则 $A$ 不可逆。求逆公式中的分母正是这个非零条件。

学完要会什么

能在涉及乘积、逆矩阵或方程组唯一解时，先用行列式的非零条件判断对象是否可逆。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 交换两行会怎样影响行列式？

提示：只改变方向，不改变绝对面积。

2. 一行乘 k 后，行列式会怎样？

提示：伸缩一条边。

3. 什么时候可以直接把对角线元素相乘？

提示：看矩阵是否已经很“整齐”。