线性代数 · 第七章线性空间与线性变换 · 7.3 欧氏空间

欧氏空间的内积与正交

欧氏空间在线性空间上加入内积，使长度、夹角、投影与正交都有统一定义。

欧氏空间是带有实内积的线性空间。内积满足对称性、线性性和正定性，因此可定义范数、距离和正交。与第五章的 $R^{n}$ 内积相比，这一节强调这些概念可以放在线性空间的一般框架中使用。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“欧氏空间的内积与正交”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：把内积误认为任意两个对象相乘都可以得到

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

左侧是输入空间，右侧是输出空间。落入核的方向会被压到零；像是所有可能输出组成的范围。