线性代数 · 第七章线性空间与线性变换 · 7.1 线性空间的概念

线性空间与子空间

线性空间抽取了向量加法和数乘的共同规则，让多项式、矩阵等对象也能像向量一样研究。

只要一个集合定义了满足线性空间公理的加法和数乘，它的元素不必是几何箭头，也可以是多项式、矩阵或函数。子空间是原线性空间的非空子集，并沿用原来的运算；实际判断时，重点检查零元、加法封闭和数乘封闭。

学完要会什么

能按照本页的图解路径说明“线性空间与子空间”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。

做题前先检查

先明确题目研究的对象与符号，避免把“线性空间与子空间”和相近概念混用。
需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：子空间判别：W\ne\varnothing，\alpha,\beta\in W\Rightarrow\alpha+\beta\in W。
最后复核一个高频易错点：认为线性空间的元素只能是数列或坐标向量。

先回忆，再看答案

1. 子空间检验为什么零向量不能省？

提示：空集合和仿射平面都会卡在这里。

2. “对加法和数乘封闭”分别排除什么问题？

提示：一个排除加起来跑出去，一个排除缩放跑出去。

3. 两个子空间的交与并，哪个必定仍是子空间？

提示：交集更严格。