线性代数 · 第五章特征值与特征向量 · 5.3 n 维向量空间的正交性

施密特正交化与标准正交组

施密特正交化逐步减去已有方向上的投影，把线性无关向量组变成张成同一空间的正交组。

从 $α_{1}, α_{2}, \dots$ 出发，先保留第一个向量，再从后一个向量中减去它在已得到正交向量上的投影。得到非零正交向量 $β_{i}$ 后，除以自身范数即可单位化为标准正交组。过程不改变张成空间。

学完要会什么

能解释“减去投影”为什么会产生垂直方向，并区分正交化和最后的单位化。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 内积为 0 给出什么几何信息？

提示：两条方向互不投影。

2. 正交向量组为什么自动线性无关？

提示：分别和每个向量取内积。

3. 规范正交与普通正交还差哪一步？

提示：长度。