线性代数 · 第四章 n 维向量空间 · 4.4 线性方程组解的结构

齐次方程组的基础解系

齐次方程组的所有解组成一个子空间，基础解系就是描述这个解空间的一组基。

把 $A X = 0$ 化为行阶梯形后，用自由变量分别取一个为 1、其余为 0 的方式可构造基础解系。若未知量有 $n$ 个、秩为 $r$ ，自由变量数为 $n - r$ ，这也就是基础解系中向量的个数。

学完要会什么

能从阶梯形矩阵识别主变量与自由变量，并按自由变量逐个取值构造基础解系。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 非齐次方程组的一切解由哪两部分组成？

提示：一个固定位置加上可移动方向。

2. 为什么齐次方程组一定相容？

提示：总有一个最朴素的解。

3. 自由变量越多，解集意味着什么？

提示：可移动的方向更多。