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电子科技大学

第四章 n 维向量空间

本章把前面的矩阵与方程组推广到 n 维:理解向量空间、线性相关、向量组的秩和极大无关组,并掌握线性方程组解的结构。

开始本章挑战

完成本章挑战后,会在这里保留最近一次结果。

本章从一个问题开始

看不见的 n 维空间,怎样判断它有多少个真正的新方向?

这一章把低维直觉推广到抽象向量空间,用相关性、秩与自由变量描述信息是否冗余和解空间结构。

  1. 01

    向量空间:允许研究哪些对象

  2. 02

    线性相关:哪些方向重复

  3. 03

    秩与解:独立方向如何组织

从“n 维向量空间与子空间”开始

讲座提炼

把“听过”变成可复习的线索

从空间图形到 n 维:对象变了,判断方式没变

第三章用可画出的向量、直线和平面训练关系判断;第四章把同一套线性组合与独立性语言推广到看不见的 n 维。

  • 空间中的平行、垂直和共面,先翻译为向量关系再计算。
  • 线性相关表示有冗余:至少一个向量可由其余向量表示。
  • 求极大无关组时,化简用于找主元位置,最后必须回到原向量组取向量。
微型例题:三个向量中一个能由另外两个线性表示,秩最多是多少?
切入点:先识别冗余,最多保留两个线性无关向量,再结合其余关系判断。

知识点

先选一个小点开始

4.1 n维向量空间的概念

4.1 n维向量空间的概念

n 维向量空间与子空间

n 维向量空间把二维、三维向量的加法和数乘规则推广到任意有限维。

草稿
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4.2 向量组的线性相关性

4.2 向量组的线性相关性

线性组合、线性相关与线性无关

一个向量能否由其他向量线性表示,是判断向量组是否冗余的核心。

草稿
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4.3 向量组的秩与极大无关组

4.3 向量组的秩与极大无关组

向量组的秩与极大无关组

向量组的秩是其中最多能保留多少个线性无关向量,极大无关组就是这样一组核心向量。

草稿
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4.4 线性方程组解的结构

4.4 线性方程组解的结构

齐次与非齐次方程组解的结构

非齐次方程组的所有解,等于一个特解加上对应齐次方程组的所有解。

草稿
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4.4 线性方程组解的结构

齐次方程组的基础解系

齐次方程组的所有解组成一个子空间,基础解系就是描述这个解空间的一组基。

草稿
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4.4 线性方程组解的结构

非齐次方程组的相容性与解集

非齐次方程组是否有解由系数矩阵与增广矩阵的秩决定;有解时,解集是一个特解平移齐次解空间得到的集合。

草稿
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