线性代数 · 第四章 n 维向量空间 · 4.4 线性方程组解的结构

齐次与非齐次方程组解的结构

非齐次方程组的所有解，等于一个特解加上对应齐次方程组的所有解。

若齐次方程组 $A X = 0$ 的系数矩阵秩为 r，未知量个数为 n 且 r<n，则它的基础解系含 n-r 个向量。非齐次方程组 $A X = b$ 有解时，任选一个特解，再加上对应齐次方程组的通解，就得到原方程组的通解。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“齐次与非齐次方程组解的结构”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：把齐次方程组的零解误认为基础解系

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

两条不共线的向量可以张成平面；若新增向量落在它们张成的范围内，它提供的是冗余而不是新方向。