线性代数 · 第四章 n 维向量空间 · 4.4 线性方程组解的结构

非齐次方程组的相容性与解集

非齐次方程组是否有解由系数矩阵与增广矩阵的秩决定；有解时，解集是一个特解平移齐次解空间得到的集合。

对于 $A X = b$ ，当且仅当 $r (A) = r (A ∣ b)$ 时方程组有解。若共同秩等于未知量个数，则唯一解；若小于未知量个数，则有无穷多解。任何一个特解加上 $A X = 0$ 的通解，恰好给出全部解。

学完要会什么

能用秩判别 $A X = b$ 是否有解，并在有解时区分唯一解与无穷多解。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 非齐次方程组的一切解由哪两部分组成？

提示：一个固定位置加上可移动方向。

2. 为什么齐次方程组一定相容？

提示：总有一个最朴素的解。

3. 自由变量越多，解集意味着什么？

提示：可移动的方向更多。