线性代数 · 第四章 n 维向量空间 · 4.1 n维向量空间的概念

n 维向量空间与子空间

n 维向量空间把二维、三维向量的加法和数乘规则推广到任意有限维。

$R^{n}$ 中的元素是 n 个实数构成的列向量。一个非空集合若对向量加法和数乘都封闭，就能构成子空间；因此子空间一定含零向量。理解空间的关键不是画图，而是检查运算规则是否仍成立。

学完要会什么

能按照本页的图解路径说明“n 维向量空间与子空间”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。

做题前先检查

先明确题目研究的对象与符号，避免把“n 维向量空间与子空间”和相近概念混用。
需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：n维空间：\mathbb{R}ⁿ⁼\{(x₁,\ldots,x_n)^T\mid x_i\in\mathbb{R}\}。
最后复核一个高频易错点：把向量空间中的元素误认为只能是三维箭头。

先回忆，再看答案

1. 判断一个集合是不是向量空间，先问哪三件事？

提示：零、加法、数乘。

2. 为什么多项式或矩阵也能当“向量”？

提示：向量不必长得像箭头。

3. n 维的“维”在告诉你什么？

提示：最少需要多少独立坐标。