线性代数 · 第五章特征值与特征向量 · 5.3 n 维向量空间的正交性

内积、范数与正交性

内积把向量的长度和夹角代数化，正交向量组让表示与计算更清楚。

在 $R^{n}$ 中，向量内积是对应分量乘积之和，范数是由内积得到的长度。两个非零向量内积为零时正交；每个向量长度为 1 的正交向量组称为标准正交组。正交化的目标是保持张成空间不变，同时得到相互正交的向量。

学完要会什么

能按照本页的图解路径说明“内积、范数与正交性”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 内积为 0 给出什么几何信息？

提示：两条方向互不投影。

2. 正交向量组为什么自动线性无关？

提示：分别和每个向量取内积。

3. 规范正交与普通正交还差哪一步？

提示：长度。