线性代数 · 第六章二次型与二次曲面 · 6.2 正定二次型

正定性的顺序主子式判别

对实对称矩阵，所有顺序主子式都为正是判定正定的一种直接方法。

设 $A$ 为实对称矩阵，记左上角 $k \times k$ 子矩阵为 $A^{(k)}$ ，其行列式为 $Δ_{k}$ 。当 $Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{n}$ 全部大于 0 时， $X^{T} A X$ 正定。它与特征值判别服务于同一目标，但使用前提和操作路径要分清。

学完要会什么

能识别顺序主子式是“左上角依次截取”的行列式，并在实对称矩阵前提下使用正定判别。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 正定中的“正”对哪些向量成立？

提示：不要漏掉非零限制。

2. 用特征值判正定时，要检查什么？

提示：所有方向都要向上。

3. 顺序主子式判别法何时适用？

提示：先确认矩阵的对称性。