线性代数 · 第七章线性空间与线性变换 · 7.4 线性变换

线性变换、核与像

线性变换保持向量加法和数乘结构，核描述被压到零的方向，像描述能够到达的全部结果。

映射 T 若满足 $T (α + β) = T (α) + T (β)$ 和 $T (k α) = k T (α)$ ，就是线性变换。它必满足 $T (0) = 0$ 。核由所有映到零向量的元素组成，像由所有输出组成；在有限维情形，选定基后线性变换可由一个矩阵表示。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“线性变换、核与像”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：只验证加法保持而漏掉数乘保持

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

左侧是输入空间，右侧是输出空间。落入核的方向会被压到零；像是所有可能输出组成的范围。