1. 线性变换必须保留哪两种结构？
提示：加法与数乘。
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线性代数 · 第七章 线性空间与线性变换 · 7.4 线性变换
线性变换、核与像
线性变换保持向量加法和数乘结构，核描述被压到零的方向，像描述能够到达的全部结果。
映射 T 若满足 和 ，就是线性变换。它必满足 。核由所有映到零向量的元素组成，像由所有输出组成；在有限维情形，选定基后线性变换可由一个矩阵表示。
开始自测学完要会什么
能按照本页的图解路径说明“线性变换、核与像”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。
做题前先检查
- 先明确题目研究的对象与符号，避免把“线性变换、核与像”和相近概念混用。
- 需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：线性性：T(k\alpha+l\beta)=kT(\alpha)+lT(\beta)。
- 最后复核一个高频易错点：只验证加法保持而漏掉数乘保持。
先回忆，再看答案
用三个问题检查是否真的理解
2. 核和像分别回答什么问题？
提示：一个问谁被压成零，一个问能到哪里。
3. 表示矩阵的第 j 列从哪里来？
提示：看第 j 个基向量的像。
关键公式
- 线性性：
- 核：
- 像：
常见易错点
- 只验证加法保持而漏掉数乘保持
- 把核误认为方程中的零向量本身，而不是所有映到零的输入
- 认为线性变换可以把零向量映到非零向量