线性代数 · 第一章矩阵及其初等变换 · 1.1 矩阵及其运算

矩阵乘法

矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，结果元素来自行与列的对应乘积求和。

矩阵乘法可用于表达产量利润、线性方程组等问题。若 A 为 m×t 矩阵，B 为 t×n 矩阵，则 AB 为 m×n 矩阵，其中第 i 行第 j 列元素由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应相乘再求和得到。

学完要会什么

能用“左列等于右行”判断乘法是否有意义，并按“左行乘右列”计算一个结果元素。

先检查这些条件

先回忆，再看答案

1. 不用看公式，用一句话说明“矩阵乘法”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：只看两个矩阵都是方阵就默认可交换

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

横向看“行”，纵向看“列”。矩阵运算先问阶数条件，再决定能否逐项或按行列组合计算。

跟着做一个小例子

设 $A = (1021)$ ， $B = (34 1 - 1)$ 。求 $A B$ 。

1
先看阶数是否接得上
$A$ 是 $2 \times 2$ ， $B$ 也是 $2 \times 2$ 。左边的列数 2 等于右边的行数 2，因此 $A B$ 有意义，结果仍是 $2 \times 2$ 。
2
先算第一行
第一行第一列： $1 \times 3 + 2 \times 4 = 11$ ；第一行第二列： $1 \times 1 + 2 \times (- 1) = - 1$ 。
3
再算第二行
第二行第一列： $0 \times 3 + 1 \times 4 = 4$ ；第二行第二列： $0 \times 1 + 1 \times (- 1) = - 1$ ，所以 $A B = (114 - 1 - 1)$ 。

这题要带走的结论：矩阵乘法不是对应元素相乘，而是“左行乘右列”；每个位置都要重新配一行和一列。