线性代数 · 第一章矩阵及其初等变换 · 1.1 矩阵及其运算

矩阵乘法

矩阵乘法要求左矩阵列数等于右矩阵行数，结果元素来自行与列的对应乘积求和。

矩阵乘法可用于表达产量利润、线性方程组等问题。若 A 为 m×t 矩阵，B 为 t×n 矩阵，则 AB 为 m×n 矩阵，其中第 i 行第 j 列元素由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应相乘再求和得到。

学完要会什么

能用“左列等于右行”判断乘法是否有意义，并按“左行乘右列”计算一个结果元素。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 遇到两个矩阵，为什么先写阶数而不是立刻算？

提示：很多运算先由尺寸决定能不能做。

2. 矩阵乘法和逐项相乘，最本质的区别是什么？

提示：盯住一个结果元素是怎样来的。

3. 方阵多项式里的常数项为什么要写成 a₀I？

提示：每一项都必须能相加。

跟着做一个小例子

设 $A = (1021)$ ， $B = (34 1 - 1)$ 。求 $A B$ 。

1
先看阶数是否接得上
$A$ 是 $2 \times 2$ ， $B$ 也是 $2 \times 2$ 。左边的列数 2 等于右边的行数 2，因此 $A B$ 有意义，结果仍是 $2 \times 2$ 。
2
先算第一行
第一行第一列： $1 \times 3 + 2 \times 4 = 11$ ；第一行第二列： $1 \times 1 + 2 \times (- 1) = - 1$ 。
3
再算第二行
第二行第一列： $0 \times 3 + 1 \times 4 = 4$ ；第二行第二列： $0 \times 1 + 1 \times (- 1) = - 1$ ，所以 $A B = (114 - 1 - 1)$ 。

这题要带走的结论：矩阵乘法不是对应元素相乘，而是“左行乘右列”；每个位置都要重新配一行和一列。