线性代数 · 第三章几何空间 · 3.3 平面

点到平面的距离与垂足

点到平面的最短线段一定沿平面的法向量，因此距离公式来自法向量方向上的投影。

对平面 $A x + B y + C z + D = 0$ 和点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，把点坐标代入左侧得到有向偏离量，再除以法向量长度即可得到距离。公式中的绝对值保证距离非负；若要找垂足，还需沿法向量写出过点直线。

学完要会什么

能识别平面法向量，使用距离公式计算点到平面的距离，并说明绝对值出现的原因。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 平面一般式的系数最值得先读成什么？

提示：它垂直于平面。

2. 判断两平面平行，先比较什么？

提示：先别急着比较常数项。

3. 点到平面最短的线段有什么方向？

提示：最短路不会沿着平面滑行。

法向量： $n = (A, B, C)^{T}$
点面距离： $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$
法线： $r = r_{0} + t n$