线性代数 · 第六章二次型与二次曲面 · 6.2 正定二次型

正定二次型

正定二次型对每个非零向量都给出正值，描述了稳定的“向上开口”二次结构。

若实二次型 $f (X)$ 对任意非零实向量 X 都满足 $f (X) > 0$ ，则称它正定；若既能取正也能取负，则是不定的。对实对称矩阵 A， $X^{T} A X$ 正定当且仅当 A 的全部特征值为正。本版先掌握定义、简单判别和特征值条件。

学完要会什么

能区分正定、半正定与不定，并在实对称矩阵前提下，把“所有非零向量取正”连接到“全部特征值为正”。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 检验正定时，为什么只代入一个非零向量取正还不够？

提示：定义中量词是“存在”还是“任意”？

2. 实对称矩阵的全部特征值为正，会怎样影响标准形？

提示：正交对角化后的对角元是什么？

3. 碗形图像只能帮助理解什么，不能代替什么？

提示：图形对应的是特定二维或三维例子。