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线性代数 · 第六章 二次型与二次曲面 · 6.1 实二次型及其标准形
实二次型与标准形
实二次型可以用对称矩阵表示，经过可逆变量替换后可化为若干平方项的和。
含 n 个实变量的二次齐次多项式称为实二次型，可写为 ，其中 A 可取为对称矩阵。含交叉项时，对称矩阵的两个对应非对角元各取该交叉项系数的一半。经过可逆线性替换，二次型可化成只含平方项的标准形。
开始自测关键公式
- 矩阵形式：
- 标准形：f(Y)=d_{1y}_1^2+\cdots+d_{ny}_n^2
- 交叉项 b x_i x_j：
常见易错点
- 把交叉项系数直接同时填入 aij 和 aji
- 忘记二次型不含一次项和常数项
- 把一般可逆变换化标准形与正交变换混为一谈