1. 为什么交叉项 要让 和 都取 ？
提示：展开 时，非对角位置会出现几次。
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线性代数 · 第六章 二次型与二次曲面 · 6.1 实二次型及其标准形
实二次型与标准形
实二次型可以用对称矩阵表示，经过可逆变量替换后可化为若干平方项的和。
含 n 个实变量的二次齐次多项式称为实二次型，可写为 ，其中 A 可取为对称矩阵。含交叉项时，对称矩阵的两个对应非对角元各取该交叉项系数的一半。经过可逆线性替换，二次型可化成只含平方项的标准形。
开始自测学完要会什么
能从二次型读出对应对称矩阵，特别是把交叉项系数平均分到两个对称位置，并理解标准形为什么只剩平方项。
做题前先检查
- 先明确题目研究的对象与符号，避免把“实二次型与标准形”和相近概念混用。
- 需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：矩阵形式：f(X)=XTAX,\quad A=AT。
- 最后复核一个高频易错点：把交叉项系数直接同时填入 aij 和 aji。
先回忆，再看答案
用三个问题检查是否真的理解
2. 标准形与原二次型的区别是什么？
提示：关注有没有交叉项，以及变量是否已换成新坐标。
3. “可逆变量替换”为什么重要？
提示：若不同的原变量映到同一个新变量，会发生什么？
关键公式
- 矩阵形式：
- 标准形：
- 交叉项系数：
常见易错点
- 把交叉项系数直接同时填入 aij 和 aji
- 忘记二次型不含一次项和常数项
- 把一般可逆变换化标准形与正交变换混为一谈