线性代数 · 第六章二次型与二次曲面 · 6.4 二次曲面

常见二次曲面的识别

二次曲面的符号、常数和变量位置决定它是椭球面、双曲面、锥面还是抛物面。

本版先识别最常见的标准方程：三个平方项同号且等于 1 常对应椭球面；两个正平方项减一个平方项等于 1 常对应单叶双曲面；等于 0 的齐次二次式常给出锥面；一个变量等于另外变量平方和时常对应椭圆抛物面。图形细节以后续交互可视化补充。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“常见二次曲面的识别”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：只看有平方项就把所有曲面判为椭球面

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

把函数值相同的位置连成等高线。全部方向都向上对应正定；若有方向向上、有方向向下，则需要警惕不定。