线性代数 · 第六章二次型与二次曲面 · 6.4 二次曲面

二次曲面的截面法

固定一个变量观察截面，把三维曲面还原成圆、椭圆、双曲线或抛物线，是识别曲面的可靠方法。

面对三元二次方程时，可以固定 $x$ 、 $y$ 或 $z$ 为常数，考察剩下两个变量的平面曲线。不同截面的形状、是否为空以及随常数变化的趋势，能帮助区分椭球面、双曲面、锥面和抛物面。

学完要会什么

能选择一个变量固定，写出对应二维截面，并用截面的存在性和形状辅助判断曲面类别。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 二次曲面分类最需要比较什么？

提示：平方项的符号和常数项。

2. 一个平方项缺失可能意味着什么？

提示：某方向不被平方束缚。

3. 截面图如何帮助判断？

提示：不同高度可能从椭圆变成双曲线。

椭球面： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$
固定 z=z_0： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 - \frac{z _{0}^{2}}{c ^{2}}$
锥面： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 0$