线性代数 · 第七章线性空间与线性变换 · 7.4 线性变换

秩—零度定理

有限维线性变换中，输入空间的维数等于像的维数与核的维数之和。

对有限维线性变换 T: $V \to W$ ，有 $dim V = dim Ker (T) + dim Im (T)$ 。它解释了一个变换一方面保留了多少独立输出方向，另一方面又压扁了多少输入方向；在矩阵语言中就是列数等于秩加零空间维数。

学完要会什么

能用秩—零度定理在已知核维数或像维数时求另一项，并理解它对应“保留与压缩”的维数分配。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 线性变换必须保留哪两种结构？

提示：加法与数乘。

2. 核和像分别回答什么问题？

提示：一个问谁被压成零，一个问能到哪里。

3. 表示矩阵的第 j 列从哪里来？

提示：看第 j 个基向量的像。