线性代数 · 第二章行列式 · 2.5 矩阵的秩

矩阵乘积的秩与秩不等式

矩阵相乘不会凭空增加独立方向，因此乘积的秩不超过任一因子的秩。

若乘积 $A B$ 有意义，则 $r (A B) \leq r (A)$ 且 $r (A B) \leq r (B)$ 。把 $B$ 的列向量先经过 $A$ 变换，可以理解为输出方向不可能比原来的独立方向更多。这个结论常用于快速排除不可能的秩，或判断方程组和线性变换的上界。

学完要会什么

能从 $r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ 给出乘积秩的上界，并知道等号不是默认成立。

做题前先检查

先回忆，再看答案

1. 求秩最稳妥的操作路线是什么？

提示：不要盯着所有元素找规律。

2. 初等行变换会改变秩吗？

提示：它只是在重写已有信息。

3. 秩在后续学习中代表什么？

提示：想想独立方向有多少。