线性代数 · 第五章特征值与特征向量 · 5.4 实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的正交对角化

实对称矩阵总能用一组标准正交特征向量对角化，这是二次型化简的重要基础。

若实矩阵 A 满足 $A^{T} = A$ ，则 A 的特征值都为实数；属于不同特征值的特征向量彼此正交。经过适当选择和归一化，可构造正交矩阵 Q，使 $Q^{T} A Q = Λ$ 。这里 $Q^{- 1} = Q^{T}$ ，对角元是 A 的特征值。

先回忆，再看答案

用三个问题检查是否真的理解

1. 不用看公式，用一句话说明“实对称矩阵的正交对角化”在解决什么问题？

提示：先回到页面顶部的一句话理解。

2. 做相关题目前，最容易遗漏的检查是什么？

提示：把任意实矩阵都当成可以正交对角化

3. 这一个点与后续学习有什么关系？

提示：想一想它提供的是定义、工具还是判断条件。

图形化理解

矩阵会整体改变网格。一般向量会转向；特征向量所在方向在变换前后保持共线，只改变长度或反向。