1. 相似变换在换什么，而不是换什么？
提示：矩阵描述同一个线性变换。
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线性代数 · 第五章 特征值与特征向量 · 5.2 矩阵的相似对角化
相似矩阵与可对角化
相似矩阵表示同一个线性变换在不同基下的矩阵，而对角化能把计算集中到各个特征值上。
若存在可逆矩阵 P 使 ，则 A 与 B 相似。若能选出 n 个线性无关的特征向量作为 P 的列，就有 ，其中 是由对应特征值构成的对角矩阵。n 阶矩阵有 n 个互异特征值是可对角化的充分条件。
开始自测学完要会什么
能按照本页的图解路径说明“相似矩阵与可对角化”的判断顺序，并完成一道基础的概念或计算题。
做题前先检查
- 先明确题目研究的对象与符号，避免把“相似矩阵与可对角化”和相近概念混用。
- 需要计算时，先确认本页的核心公式或定义：相似关系：B=P-1AP，P 可逆。
- 最后复核一个高频易错点：把 P-1AP 的顺序写成 PAP-1。
先回忆，再看答案
用三个问题检查是否真的理解
2. 可对角化的关键条件是什么？
提示：需要凑够一组基。
3. 对角化后计算 A 的幂为什么更轻松？
提示：对角矩阵的幂只处理对角元。
关键公式
- 相似关系：
- 对角化：
- P 的列：
常见易错点
- 把 P-1AP 的顺序写成 PAP-1
- 认为有特征值就一定可对角化，忽略需要足够多的无关特征向量
- 把相似误认为两个矩阵必须逐项相等