方阵的幂与多项式

做题前先检查

• $A^2,A^3,\dots$ 只对方阵 $A$ 定义，因为连续相乘要求每一步的行列数都能对上。
• 矩阵多项式的常数项不是普通数字，而是 $a_{0}I$，这样它才能和其他矩阵项相加。
• 只涉及同一个方阵 $A$ 的幂时可沿用普通多项式的整理；涉及不同矩阵时，不能随意交换顺序。

跟着做一个小例子

算一个方阵多项式

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，求 $A^2-2A+3I$。

1. 1

   先确认可以平方

   $A$ 是 $2\times 2$ 方阵，所以 $A^2$ 有意义。直接相乘得 $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$。

2. 2

   把常数 3 变成矩阵项

   这里的 $3$ 要写成 $3I=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，不能把 3 直接加到矩阵上。

3. 3

   统一为同型矩阵后相加减

   $A^2-2A+3I=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$。

这题要带走的结论： 矩阵多项式中的每一项都必须是同阶方阵；常数项要借助单位矩阵进入运算。